system ไบนารีทศนิยมฐานแปดและระบบเลขฐานสิบหกมันคืออะไรและทำงานอย่างไร

หากคุณเป็นนักเรียนของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์หรือสาขาวิศวกรรมใด ๆ สิ่งหนึ่งที่คุณควรรู้คือทำการแปลงระบบเลข ในการคำนวณระบบตัวเลขที่ใช้นั้นแตกต่างจากที่เรารู้กันมา แต่ดั้งเดิมเช่นเดียวกับระบบทศนิยมของเรา นี่คือเหตุผลที่อาจเป็นไปได้มากหากเราอุทิศตัวเองให้กับสาขาของการคำนวณการเขียนโปรแกรมและเทคโนโลยีที่คล้ายคลึงกันเราจะต้องรู้ว่าระบบที่ใช้มากที่สุดและวิธีการแปลงจากระบบหนึ่งไปสู่อีกระบบหนึ่ง

ดัชนีเนื้อหา

วิธีทำการแปลงระบบเลข

เป็นประโยชน์อย่างยิ่งที่จะทราบว่าระบบทศนิยมเป็นทศนิยมและในทางกลับกันเนื่องจากเป็นระบบการนับที่ส่วนประกอบของคอมพิวเตอร์ทำงานโดยตรง แต่มันก็มีประโยชน์มากในการรู้ระบบเลขฐานสิบหกเนื่องจากมันถูกใช้เป็นตัวอย่างเพื่อแสดงรหัสสีกุญแจและรหัสจำนวนมากจากทีมของเรา

ระบบเลข

ระบบลำดับเลขประกอบด้วยการแสดงชุดของสัญลักษณ์และกฎที่อนุญาตให้เราสร้างตัวเลขที่ถูกต้อง มันประกอบด้วยการใช้ชุดของสัญลักษณ์ที่มีขอบเขตซึ่งมันจะเป็นไปได้ที่จะสร้างค่าตัวเลขอื่น ๆ โดยไม่ จำกัด

โดยไม่ต้องใช้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์มากเกินไประบบที่มนุษย์และเครื่องจักรใช้มากที่สุดจะเป็นดังนี้:

ระบบทศนิยม

มันเป็นระบบการนับตำแหน่งในปริมาณที่แสดงโดยฐานเลขคณิตของเลขสิบ

เนื่องจากฐานคือหมายเลขสิบเราจะมีความสามารถในการสร้างตัวเลขทั้งหมดโดยใช้ตัวเลขสิบตัวซึ่งเป็นตัวเลขที่เราทุกคนรู้ 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ตัวเลขเหล่านี้จะถูกใช้เพื่อเป็นตัวแทนตำแหน่งของพลังของ 10 ในการก่อตัวของจำนวนใด ๆ

ดังนั้นเราสามารถแทนตัวเลขด้วยวิธีต่อไปนี้ในระบบการนับเลขนี้:

เราเห็นว่าตัวเลขทศนิยมคือผลรวมของแต่ละค่าโดยฐาน 10 ที่ยกขึ้นสู่ตำแหน่งที่ 1 ที่แต่ละคำศัพท์มีอยู่ เราจะคำนึงถึงเรื่องนี้สำหรับการแปลงในระบบหมายเลขอื่น ๆ

ระบบไบนารี

ระบบเลขฐานสองเป็นระบบการนับเลขที่ใช้เลขฐาน 2 ระบบนี้เป็นระบบที่ใช้โดยคอมพิวเตอร์และระบบดิจิตอลภายในเพื่อดำเนินการทุกกระบวนการอย่างสมบูรณ์

ระบบการกำหนดหมายเลขนี้มีเพียงสองหลักคือ 0 และ 1 ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมมันจึงขึ้นอยู่กับ 2 (สองหลัก) ด้วยโซ่มูลค่าทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้น

ระบบฐานแปด

เช่นเดียวกับคำอธิบายก่อนหน้านี้เราสามารถจินตนาการได้ว่านี่คืออะไรเกี่ยวกับระบบฐานแปด ระบบเลขฐานแปดเป็นระบบการนับเลขที่ใช้เลขฐาน 8 ซึ่งก็คือเราจะมีตัวเลข 8 หลักที่แตกต่างกันเพื่อแสดงตัวเลขทั้งหมด สิ่งเหล่านี้จะเป็น: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7

ระบบเลขฐานสิบหก

ตามคำจำกัดความก่อนหน้านี้ระบบเลขฐานสิบเป็นระบบหมายเลขตำแหน่งซึ่งยึดตามหมายเลข 16 ณ จุดนี้เราจะถามตัวเองว่าเราจะได้ 16 ตัวเลขต่างกันอย่างไรตัวอย่าง 10 คือการรวมกันของตัวเลขสองตัว แตกต่างกันอย่างไร

ง่ายมากเราคิดค้นพวกเขาไม่ใช่พวกเรา แต่เป็นคนที่คิดค้นระบบที่มีปัญหา ตัวเลขที่เราจะได้ที่นี่จะเป็น: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F สิ่งนี้ทำให้รวม 16 คำที่แตกต่างกัน หากคุณเคยตั้งรหัสตัวเลขของสีมันจะมีหมายเลขประเภทนี้และนี่คือสาเหตุที่คุณจะเห็นว่าสีขาวมีการแสดงเป็นค่า FFFFFF เราจะดูทีหลังว่ามันหมายถึงอะไร

การแปลงระหว่างระบบไบนารีและทศนิยม

เนื่องจากเป็นขั้นพื้นฐานและเข้าใจง่ายที่สุดเราจะเริ่มต้นด้วยการแปลงระหว่างระบบเลขสองตัวนี้

แปลงตัวเลขจากเลขฐานสองเป็นทศนิยม

ดังที่เราเห็นในส่วนแรกเราแทนเลขทศนิยม เนื่องจากผลรวมของค่าคูณด้วยกำลังของ 10 ถึงตำแหน่งที่ 1 ซึ่งครอบครอง หากเราใช้สิ่งนี้กับเลขฐานสองใด ๆ ที่มีฐานที่สอดคล้องกันเราจะมีสิ่งต่อไปนี้:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

แต่แน่นอนถ้าเราทำตามขั้นตอนในระบบเลขฐานสิบเราจะได้ค่าที่ไม่ใช่ 0 และ 1 ซึ่งเป็นค่าที่เราสามารถแสดงได้ในระบบเลขนี้เท่านั้น

แต่นี่จะเป็นประโยชน์อย่างมากในการแปลงเป็นระบบทศนิยม ลองคำนวณผลลัพธ์ของแต่ละค่าในกล่อง:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

ทีนี้ถ้าเราสร้างผลรวมของค่าเหล่านี้ที่เกิดจากแต่ละเซลล์เราจะได้ค่าทศนิยมเทียบเท่าของค่าไบนารี

ค่าทศนิยมของ 100110 คือ 38

เราแค่ต้องคูณตัวเลข (0 หรือ 1) ด้วยฐาน (2) ยกตำแหน่ง -1 มันอยู่ในรูป เราเพิ่มค่าและเราจะมีตัวเลขเป็นทศนิยม

หากคุณยังไม่มั่นใจตอนนี้เราจะดำเนินการตามกระบวนการที่ตรงกันข้าม:

แปลงเลขทศนิยมให้เป็นไบนารี

ถ้าก่อนที่เราจะทำการคูณจำนวนและผลรวมเพื่อกำหนดค่าทศนิยมตอนนี้สิ่งที่เราจะต้องทำคือการหารจำนวนทศนิยมด้วยฐานของระบบที่เราต้องการแปลงให้เป็นในกรณีนี้ 2

เราจะดำเนินการตามขั้นตอนนี้จนกว่าจะไม่สามารถดำเนินการแผนกใด ๆ เพิ่มเติมได้อีกต่อไป เรามาดูตัวอย่างของวิธีการทำ

จำนวน	38	19	9	4	2	1
หมวด	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
ส่วนที่เหลือ	0	1	1	0	0	1

นี่คือผลลัพธ์ของการทำให้แผนกที่ต่อเนื่องน้อยที่สุด คุณอาจรู้แล้วว่ามันทำงานอย่างไร ถ้าตอนนี้เราใช้เวลาที่เหลือของแต่ละส่วนและ กลับตำแหน่งของ เราจะได้รับค่าไบนารีของจำนวนทศนิยม นั่นคือเริ่มต้นจากที่เราสิ้นสุดส่วนหลัง:

ดังนั้นเราจึงมีผลลัพธ์ต่อไปนี้: 100110

อย่างที่เราเห็นเราได้จัดการให้มีจำนวนเท่ากันกับตอนต้นของส่วน

การแปลงจำนวนทศนิยมเศษส่วนเป็นเลขฐานสอง

อย่างที่เราทราบกันดีว่าไม่เพียง แต่มีทั้งเลขทศนิยม แต่ยังสามารถหาจำนวนจริง (เศษส่วน) และในฐานะที่เป็นระบบลำดับเลขก็ควรจะสามารถแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบเลขฐานสองได้ เรามาดูวิธีการทำ ลองดูหมายเลข 38, 375 เป็นตัวอย่าง

สิ่งที่เราต้องทำคือ แยกแต่ละส่วน เรารู้วิธีคำนวณส่วนจำนวนเต็มดังนั้นเราจะไปที่ส่วนทศนิยมโดยตรง

ขั้นตอนจะเป็นดังนี้: เราจะต้องใช้ส่วนทศนิยมและคูณด้วยฐานของระบบคือ 2 ผลลัพธ์ของการคูณเราต้องคูณมันอีกครั้งจนกว่าเราจะได้เศษส่วนเป็น 0 หากเมื่อทำการคูณจำนวน factional ปรากฏขึ้นด้วยส่วนจำนวนเต็มเราจะต้องใช้เวลาเศษส่วนสำหรับการคูณต่อไป ลองดูตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจให้ดีขึ้น

จำนวน	0375	0.75	0.50
การคูณ	* 2 = 0.75	* 2 = 1.50	* 2 = 1.00
ส่วนทั้งหมด	0	1	1

อย่างที่เราเห็นเรากำลังนำส่วนทศนิยมแล้วคูณมันอีกครั้งจนกว่าเราจะถึง 1.00 โดยที่ผลลัพธ์จะเป็น 0 เสมอ

ผลลัพธ์ของ 38, 375 ในไบนารีจะเท่ากับ 100 110, 011

แต่ จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราไม่สามารถบรรลุผล 1.00 ในกระบวนการ ลองดูตัวอย่างด้วย 38, 45

จำนวน	0.45	0.90	0.80	0.60	0.20	0.40	0.80
การคูณ	* 2 = 0.90	* 2 = 1.80	* 2 = 1.60	* 2 = 1.20	* 2 = 0.40	* 2 = 0.80	* 2 = 1.60
ส่วนทั้งหมด	0	1	1	1	0	0	1

ดังที่เราเห็น จาก 0.80 กระบวนการกลายเป็นระยะ นั่นคือ เราจะไม่ทำขั้นตอนให้เสร็จ เพราะตัวเลขจาก 0.8 ถึง 0.4 จะปรากฏขึ้นเสมอ จากนั้น ผลลัพธ์ของเราจะเป็นการประมาณจำนวนทศนิยม ยิ่งเราไปได้ไกลเท่าไหร่ความแม่นยำที่เราจะได้รับก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ดังนั้น: 38.45 = 100 110, 01110011001 1001…

ลองดูวิธีการทำกระบวนการย้อนกลับ

การแปลงเลขฐานสองแบบเศษส่วนเป็นทศนิยม

กระบวนการนี้จะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานปกติยกเว้นว่าคอมม่า พลังจะเป็นลบ ลองหาส่วนจำนวนเต็มของเลขฐานสองก่อนหน้านี้:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0.25	1 · 2 -3 = 0.125	1 · 2 -4 = 0.0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0.0078125	…

หากเราเพิ่มผลลัพธ์เราจะได้รับ:

0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.0078125 = 0.4453

หากเรายังคงดำเนินการต่อไปเราจะเข้าใกล้ยิ่งขึ้นและใกล้เคียงกับมูลค่าที่แน่นอนของ 38.45

การแปลงระหว่างระบบฐานแปดและระบบเลขฐานสอง

ตอนนี้เราจะดำเนินการต่อเพื่อดูวิธีการแปลงระหว่างสองระบบที่ไม่ใช่ทศนิยมสำหรับเรื่องนี้เราจะใช้ ระบบฐานแปดและระบบเลขฐานสอง และเราจะทำขั้นตอนเดียวกับในส่วนก่อนหน้านี้

แปลงจำนวนจากไบนารีเป็นฐานแปด

การแปลงระหว่างระบบเลขทั้งสองนั้นง่ายมาก เพราะฐานของระบบเลขฐานแปดนั้นเหมือนกับระบบเลขฐานสอง แต่ยกกำลังเป็น 3, 2 ³ = 8 จากสิ่งนี้สิ่งที่เราจะ ทำคือจัดกลุ่มคำศัพท์ไบนารีเป็นกลุ่มที่สามโดยเริ่มจากทางขวาไปทางซ้าย และแปลงเป็นทศนิยมโดยตรง ลองดูตัวอย่างด้วยหมายเลข 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

เราจัดกลุ่มทุก ๆ สามหลักและทำการแปลงเป็นทศนิยม ผลลัพธ์ที่ได้คือ 100110 = 46

แต่ ถ้าเราไม่มี 3 กลุ่มที่สมบูรณ์แบบล่ะ ตัวอย่างเช่น 1001101 เรามีสองกลุ่มคือ 3 และหนึ่งใน 1 ลองดูวิธีดำเนินการต่อ:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

ทำตามขั้นตอนเราใช้กลุ่มจากด้านขวาของคำและเมื่อเราไปถึงจุดสิ้นสุดเราเติมเลขศูนย์เท่าที่จำเป็น ในกรณีนี้เราต้องการสองคนเพื่อให้ กลุ่มสุดท้ายเสร็จสมบูรณ์ ดังนั้น 1001101 = 115

แปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสอง

ทีนี้ขั้นตอนนั้นง่ายเหมือนการทำตรงกันข้ามนั่นคือไปจากฐานสองไปเป็นทศนิยมในกลุ่มที่ 3 ลองดูด้วยหมายเลข 115

ความคุ้มค่า	1	1	5
หมวด	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
ส่วนที่เหลือ	1	0	0	1	0	0	1	0	1
กลุ่ม	001	001	101

ด้วยวิธีนี้เราจะเห็นว่า 115 = 001001101 หรืออะไรที่เหมือนกัน 115 = 1001101

การแปลงระหว่างระบบฐานแปดและระบบทศนิยม

ตอนนี้เรากำลังจะไปดูวิธีการดำเนินการของการไปจากระบบเลขฐานแปดถึงทศนิยมและในทางกลับกัน เราจะเห็นว่า กระบวนการนั้นเหมือนกับในกรณีของระบบทศนิยมและเลขฐานสอง เท่านั้นเราต้องเปลี่ยนฐานเป็น 8 แทน 2

เราจะดำเนินการขั้นตอนโดยตรงกับข้อตกลงกับส่วนที่เป็นเศษส่วน

แปลงเลขทศนิยมให้เป็นฐานแปด

ปฏิบัติตามขั้นตอนของวิธีทศนิยมฐานสองเราจะดำเนินการกับตัวอย่างของ 238.32:

ส่วนทั้งหมด เราหารด้วยฐานซึ่งก็คือ 8:

จำนวน	238	29	3
หมวด	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
ส่วนที่เหลือ	6	5	3

ส่วนทศนิยมเราคูณด้วยฐานซึ่งก็คือ 8:

จำนวน	0.32	0.56	0.48	0, 84	0, 72	…
การคูณ	* 8 = 2.56	* 8 = 4.48	* 8 = 3.84	* 8 = 6.72	* 8 = 5.76	…
ส่วนทั้งหมด	2	4	3	6	5	…

ผลลัพธ์ที่ได้มีดังนี้: 238.32 = 356.24365…

แปลงเลขฐานแปดให้เป็นทศนิยม

งั้นลองทำกระบวนการตรงข้ามกัน ลองส่งเลขฐานแปด 356, 243 ไปเป็นทศนิยม:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0.25	4 · 8 -2 = 0.0625	3 · 8 -3 = 0.005893

ผลลัพธ์คือ: 192 + 40 + 6, 0.25 + 0.0625 + 0.005893 = 238.318

การแปลงระหว่างระบบเลขฐานสิบหกและระบบทศนิยม

จากนั้นเราจะเสร็จสิ้นกระบวนการแปลงระหว่างระบบเลขฐานสิบหกและระบบทศนิยม

แปลงเลขทศนิยมให้เป็นเลขฐานสิบหก

ปฏิบัติตามขั้นตอนของวิธีทศนิยมฐานสองและฐานสิบฐานแปดเราจะดำเนินการกับตัวอย่างของ 238.32:

ส่วนทั้งหมด เราหารด้วยฐานซึ่งก็คือ 16:

จำนวน	238	14
หมวด	÷ 16 = 14	-
ส่วนที่เหลือ	E	E

ส่วนทศนิยมเราคูณด้วยฐานซึ่งก็คือ 16:

จำนวน	0.32	0.12	0, 92	0, 72	0, 52	…
การคูณ	* 16 = 5.12	* 16 = 1.92	* 16 = 14.72	* 16 = 11.52	* 16 = 8.32	…
ส่วนทั้งหมด	5	1	E	B	8	…

ผลลัพธ์ที่ได้มีดังนี้: 238.32 = EE, 51EB8…

แปลงจำนวนจากเลขฐานสิบหกเป็นทศนิยม

งั้นลองทำกระบวนการตรงข้ามกัน ลองส่งเลขฐานสิบหก EE, 51E ไปที่ทศนิยม:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0.3125	1 · 16 -2 = 0.003906	E16 -3 = 0.00341

ผลลัพธ์คือ: 224 + 14, 0.3125 + 0.003906 + 0.00341 = 238.3198…

นี่เป็นวิธีหลักในการเปลี่ยนฐานจากระบบเลขหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง ระบบสามารถใช้ได้กับระบบในฐานและระบบทศนิยมแม้ว่าระบบเหล่านี้จะถูกใช้มากที่สุดในด้านการคำนวณ

คุณอาจสนใจ:

หากคุณมีคำถามใด ๆ ทิ้งไว้ในความคิดเห็น เราจะพยายามช่วยคุณ